欧氏几何的研究者一直想把欧氏几何中的第五公理用前面的四条公理证明出来，欧几里得做不到。罗巴切夫斯基在研究中得出两个重要的结论:

第一，第五公设不能被证明。(也就是说在欧氏平面中，罗氐用反证法证明了它只能当公理使用—胡自立注释。)

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。(在罗氏平面中—胡自立注释。)

黎曼几何也是非欧几何 : 在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在球面上是可以应用的。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼(球面)几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。

宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间;在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。